Exercícios resolvidos - P.G

1) Represente os termos a₇, a₂, a₃ e a₄, de uma P.G., em função dos a₉, a₅, a₁ e a₃ respectivamente.

Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é fundamental que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na resolução deste exercício, portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes forem necessárias, até que o tenha compreendido por completo.

Na parte teórica deste tema vimos que a partir da fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo, exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de qualquer outro termo.

Para representarmos a₇ em função de a₉ temos:

Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o número de termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, que irá multiplicar o termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do termo original o coeficiente será positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo.

a₉ está dois termos à direita a₇, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a₇ = a₉ . q^-2.

a₅ vem três termos depois de a₂, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: a₂ = a₅ . q^-3.

a₁ vem dois termos antes de a₃, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: a₃ = a₁ . q².

a₃ está um termo à esquerda a₄, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela razão: a₄ = a₃ . q.

Então:

a₇ = a₉ . q^-2, a₂ = a₅ . q^-3, a₃ = a₁ . q² e a₄ = a₃ . q

2) O produto dos 7 termos de uma P.G. é igual a 4586471424. Qual é o quarto termo?

Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a₄ teremos:

P.G. ( a₄q^-3, a₄q^-2, a₄q^-1, a₄, a₄q, a₄q², a₄q³ ).

A representação do produto dos termos será então:

Perceba que na expressão acima q^-3 anula q³, assim como q^-2 anula q² e q^-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a₄. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a₃, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.

Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:

Portanto:

O quarto termo é igual a 24.

Para mais exercícios :

http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoGeometricaExercicios.aspx#anchor_ex3