Razão e Proporção ( vídeo aulas )

                                           

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Razão

  Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:

• 
• 

As razões acima podem ser lidas como:

• razão de a para b
• a está para b
• a para b

Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.

Razão inversa ou recíproca

Vejamos as seguintes razões:

 e 

Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.

Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.

Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.

Agora vejamos as seguintes razões:

 e 

A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.

Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:

A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.

Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.

Razão centesimal

Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada derazão centesimal.

Exemplos

O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para outro?

Temos: Salário de Paulo : Salário de João.

Então:

A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.

Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.

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Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem apenas 80cm de altura. Qual é a razão de nossas alturas?

Como uma das medidas está em metros e a outra em centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. Sabemos que 1,80m é equivalente a 180cm. Temos então a razão de 180cm para 80cm:

2,25 é a razão de nossas alturas.

Crédito: http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx

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Proporção

A igualdade entre razões denomina-se proporção.

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.

Indicamos esta proporção por:

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).

Podemos então afirmar que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"10 está para 5, assim como 14 está para 7".

Propriedade fundamental das proporções

Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

     ou     

Ou

     ou     

Terceira propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

     ou     

Ou

     ou     

Quarta proporcional

Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

Terceira proporcional

Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exemplos

Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?

Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.

Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou não uma proporção.

Temos então:

Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.

Poderíamos também ter analisado as duas razões:

Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.

Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 15 difere de 12,5.

A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, o que deixaria as razões desproporcionais.

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A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?

Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

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Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?

Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:

O valor do número x é 20.

Crédito : http://www.matematicadidatica.com.br/Proporcao.aspx

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Razão e Proporção - Porcentagem - Regra de três

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente bdeve ser diferente de zero.

32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2.

Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas, se as duas medidas estiverem, por exemplo, em quilômetros, mas não poderá obtê-la caso uma das medidas esteja em metros e a outra em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não seja o metro. Neste caso seria necessário que fosse eleita uma unidade de medida e se convertesse para ela, a grandeza que estivesse em desacordo.

Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome deconsequente.

Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo termo consequente é igual a 100. Representamos a porcentagem através do símbolo "%".

10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos).

Proporção nada mais é que a igualdade entre razões.

Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.

Regra de três é um método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

"Um automóvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2 horas. Se a viagem fosse realizada à velocidade de 120km, qual seria o tempo gasto?". Este é um exemplo de problema que pode ser resolvido via regra de três, no caso uma regra de três simples inversa.

A solução dos problemas de regra de três tem como base a utilização da "propriedade fundamental das proporções" e a "quarta proporcional".

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Exercícios resolvidos - P.G

1) Represente os termos a₇, a₂, a₃ e a₄, de uma P.G., em função dos a₉, a₅, a₁ e a₃ respectivamente.

Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é fundamental que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na resolução deste exercício, portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes forem necessárias, até que o tenha compreendido por completo.

Na parte teórica deste tema vimos que a partir da fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo, exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de qualquer outro termo.

Para representarmos a₇ em função de a₉ temos:

Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o número de termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, que irá multiplicar o termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do termo original o coeficiente será positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo.

a₉ está dois termos à direita a₇, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a₇ = a₉ . q^-2.

a₅ vem três termos depois de a₂, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: a₂ = a₅ . q^-3.

a₁ vem dois termos antes de a₃, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: a₃ = a₁ . q².

a₃ está um termo à esquerda a₄, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela razão: a₄ = a₃ . q.

Então:

a₇ = a₉ . q^-2, a₂ = a₅ . q^-3, a₃ = a₁ . q² e a₄ = a₃ . q

2) O produto dos 7 termos de uma P.G. é igual a 4586471424. Qual é o quarto termo?

Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a₄ teremos:

P.G. ( a₄q^-3, a₄q^-2, a₄q^-1, a₄, a₄q, a₄q², a₄q³ ).

A representação do produto dos termos será então:

Perceba que na expressão acima q^-3 anula q³, assim como q^-2 anula q² e q^-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a₄. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a₃, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.

Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:

Portanto:

O quarto termo é igual a 24.

Para mais exercícios :

http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoGeometricaExercicios.aspx#anchor_ex3

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Progressão Geométrica

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica.

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q² 
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹


Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.


a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401


Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.314,39.
 

Créditos:  Marcos Noé
Graduado em Matemática

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Progressões Arítméticas - Conceitos básicos

Para quem está com alguma dúvida no assunto de P.A aqui está uma vídeo aula que fala sobre os conceitos básicos de uma P.A !

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