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Razão e Proporção - Porcentagem - Regra de três

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente bdeve ser diferente de zero.

32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2.

Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas, se as duas medidas estiverem, por exemplo, em quilômetros, mas não poderá obtê-la caso uma das medidas esteja em metros e a outra em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não seja o metro. Neste caso seria necessário que fosse eleita uma unidade de medida e se convertesse para ela, a grandeza que estivesse em desacordo.

Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome deconsequente.

Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo termo consequente é igual a 100. Representamos a porcentagem através do símbolo "%".

10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos).

Proporção nada mais é que a igualdade entre razões.

Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.

Regra de três é um método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

"Um automóvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2 horas. Se a viagem fosse realizada à velocidade de 120km, qual seria o tempo gasto?". Este é um exemplo de problema que pode ser resolvido via regra de três, no caso uma regra de três simples inversa.

A solução dos problemas de regra de três tem como base a utilização da "propriedade fundamental das proporções" e a "quarta proporcional".

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Exercícios resolvidos - P.G

1) Represente os termos a₇, a₂, a₃ e a₄, de uma P.G., em função dos a₉, a₅, a₁ e a₃ respectivamente.

Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é fundamental que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na resolução deste exercício, portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes forem necessárias, até que o tenha compreendido por completo.

Na parte teórica deste tema vimos que a partir da fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo, exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de qualquer outro termo.

Para representarmos a₇ em função de a₉ temos:

Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o número de termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, que irá multiplicar o termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do termo original o coeficiente será positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo.

a₉ está dois termos à direita a₇, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a₇ = a₉ . q^-2.

a₅ vem três termos depois de a₂, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: a₂ = a₅ . q^-3.

a₁ vem dois termos antes de a₃, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: a₃ = a₁ . q².

a₃ está um termo à esquerda a₄, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela razão: a₄ = a₃ . q.

Então:

a₇ = a₉ . q^-2, a₂ = a₅ . q^-3, a₃ = a₁ . q² e a₄ = a₃ . q

2) O produto dos 7 termos de uma P.G. é igual a 4586471424. Qual é o quarto termo?

Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a₄ teremos:

P.G. ( a₄q^-3, a₄q^-2, a₄q^-1, a₄, a₄q, a₄q², a₄q³ ).

A representação do produto dos termos será então:

Perceba que na expressão acima q^-3 anula q³, assim como q^-2 anula q² e q^-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a₄. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a₃, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.

Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:

Portanto:

O quarto termo é igual a 24.

Para mais exercícios :

http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoGeometricaExercicios.aspx#anchor_ex3

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Progressão Geométrica

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica.

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q²
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹

Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈= 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.

a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.314,39.

Créditos: Marcos Noé
Graduado em Matemática

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Progressões Arítméticas - Conceitos básicos

Para quem está com alguma dúvida no assunto de P.A aqui está uma vídeo aula que fala sobre os conceitos básicos de uma P.A !

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Macetes Infalíveis - Fatoração e Raiz

Oi gente, bom aprendi uns macetes ( dicas ) ótimos que tem me ajudado com duas coisas que são fáceis, mas na hora de fazer sempre nos atrapalhamos :

Fatoração e Raiz

Fatoração:

Bom uma dica ótima que adianta sua vida na hora de fatorar é com algumas pequenas dicas identificar qual número você vai usar.
Ex:

Para fatorar por 2 : O número tem que ser divisível por 2 e par
Para fatorar por 3 : Tem que ser divisível por 3, além disso devemos somar os algarismos do termo.
Ex: termo 81 ( 81 = 8 + 1 = 9 / 9 é divisível por 3 )
Para fatorar por 5 : Números terminamos em 0 ou 5

Raiz Quadrada

Nem sempre nós sabemos a raiz de um número, e da preguiça fazer aqueles cálculos chatos pra descobrir. Uma forma bem fácil é a seguinte ..

√9 = ? = 3
²√9 = Fatorar o 9 ( e colocar o índice em evidência para facilitar ) = ²√9 = ²√3² = 3 ²/² = 3¹

√16 = ? = 4
²√16 = ²√4² = 4 ²/² = 4¹

√36 = ? = 6
²√16 = ²√2².3² = 2 . 3 = 6 ( cortar os índices )

É isso gente, espero que ajude vocês !

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Sequência Numérica

O estudo de sequência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de sequência numérica.

Exemplo:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a sequência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a sequência de números impares ≥ 7 e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência de números que começa com a letra D.

Matematicamente, quando temos uma sequência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a₁ assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo a_n.
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a₁ = 2; a₂ = 4; a₃ = 6; a₄ = 8; a₅ = 10

A sequência acima é uma sequência finita, sua representação geral é (a₁, a₂, a₃,..., a_n ).
Para as sequências que são infinitas a representação geral é (a₁, a₂, a₃, a_n, ... ).

Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma lei de formação.
Exemplo:
A sequência definida pela lei de formação a_n = 2n² - 1, n

N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e a_n é o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, a_n é chamado de termo geral da sequência.
Utilizando a lei de formação a_n = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da sequência.
• n = 1 → a₁ = 2 . 1² - 1 → a₁ = 1
• n = 2 → a₂ = 2 . 2² - 1 → a₂ = 7
• n = 3 → a₃ = 2 . 3² - 1 → a₃ = 17
• n = 4 → a₄ = 2 . 4² - 1 → a₄ = 31
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Assim, a sequência formada é (1, 7, 17, 31, ...)

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